Funksioni Eksponencial y = c·a^x, x ∈ R. Grafiku i tij

I.            Funksioni eksponencial y = a^x , x ∈ Q

Siç dihet, me fuqi tё njё numri pozitiv a  (a ∈ R*)   me eksponent racional kuptohet:

      1.       , kur  n∈ N   dhe n >1.

      2.    a¹ = a   dhe  a⁰ = 1.

      3.    a^-n =  1/ aⁿ     kur  n∈ N.

      4.    , kur m  ∈  N  dhe n ∈  N.

      5.     ,   kur m  ∈  N  dhe n ∈  N

Ushtrimi 1

Siç duket, shprehja a^x  (ku x ∈ R) pёr çdo vlerё racionale tё x (x ∈ Q) ka njё vlerё reale tё vetme.

I lidhim çdo vlere racionale tё x –it  vlerёn pёrkatёse tё shprehjes a^x . Kёshtu, çdo numri racional i lidhet njё numёr real i vetёm. KY relacion me fillim nё Q  dhe mbarim nё R, ёshtё njё funksion numerik. Ky funksion jepet me formulёn:

                                                                                                                             y = a^x , x ∈ Q

Ai quhet funksion eksponencial, sepse ndryshorja e tij x  shёrben si eksponent i njё fuqie me bazё tё pandryshueshme a  (a ∈ R* ).

A)   Verifikoni vlerat e funksionit:    nё  7 pikat. Ato dalin:

Bashkoni me lakore kёto pika pёr tё marrё grafikun e funksionit . Ju do tё vini re se:

1  Ordinatat e pikave tё grafikut janё tё gjitha pozitive. Pra, vlerat e funksionit  y = a^x , x ∈ Q  (nё  rastin kur 0 <  a < 1) janё tё gjitha pozitive,

   a^x  > 0 pёr çdo vlerё x ∈ Q.

      2. Me rritjen e vlerave tё ndryshorit x, zvogёlohen vlerat pёrkatёse tё funksionit   y = a^x , x ∈ Q  (nё  rastin kur 0 <  a < 1). Pra funksioni y = a^x , x ∈ Q  

          (nё  rastin kur 0 <  a  < 1) ёshtё funksion zbritёs nё Q. Kjo do tё thotё se, pёr çdo çift numrash racionalё x₁ , x₂ , nga  x₁  >   x₂  , rrjedh a^x1 < a^x2.

3. Kur x = 0, kemi a^x =1.

      B) Verifikoni vlerat e funksionit:    nё  7 pikat. Bashkoni me lakore kёto pika pёr tё marrё grafikun e funksionit . Ju do tё vini re se:

1. Vlerat e funksionit  y = a^x , x ∈ Q  (nё  rastin kur a > 1) janё tё gjitha pozitive,    a^x  > 0 pёr çdo vlerё x ∈ Q.

      2. Me rritjen e vlerave tё ndryshorit x, rriten vlerat pёrkatёse tё funksionit   y = a^x , x ∈ Q  (nё  rastin kur  a > 1). Pra funksioni y = a^x , x ∈ Q  (nё  rastin kur   a > 1)

           ёshtё funksion zbritёs nё Q. Kjo do tё thotё se, pёr çdo çift numrash racionalё x₁ , x₂ , nga  x₁  >   x₂  , rrjedh a^x1 < a^x2.

      3.  Kur x = 0, kemi a^x =1.

 

II.          Funksioni eksponencial y = a^x , x ∈ R

 Kuptimi i fuqisё me njё eksponent real çfardo, jepet nё mёnyrё tё tillё qё vetitё e njohura pёr fuqitё me eksponentё racionalё tё mbeten tё vёrteta edhe pёr fuqitё  me eksponetё realё (edhe iracionalё),

Le tё jenё a dhe b numra pozitivё, kurse x₁ dhe x₃ numra realё çfardo. Janё tё vёrteta barazimet:

    

Le  tё jetё a  njё numёr  rea pozitiv i ndryshёm nga 1. Pёr çdo vlerё reale tё x –it shprehja a^x ka kuptim dhe merr njё vlerё reae tё pёrcaktuar. Duke i lidhur çdo vlere  reale tё x –it vlerёn pёrkatёse tё shprehjes a^x ,  marrim njё funksion numerik me bashkёsi pёrcaktimi R. Ky funksion mund tё jepet me formulёn y = a^x , x ∈ R. Vёmё re se nё tё ndryshorja x  shёrben si eksponent i njё fuqie me bazё tё pandryshueshme a

 Pёrkufizim:  çdo funksion i trajtёs y = c·a^x, ku c ¹ 0 dhe  0 < a  < 1 quhet funksion eksponencial. Bashkёsia e pёrcaktimi tё tij ёshtё bashkёsia R.

Le tё shqyrtomё ndёrtimin e grafikut tё funksionit eksponencial nё raste tё veçanta.

Rasti   c = 1  dhe a > 1

Nё tabelёn e mёposhtme janё dhёnё vlerat e funksionit y = 2^x  ( c = 1, a = 2) pёr vlera tё ndryshme tё ndryshores x.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	1/8	¼	1/2	1	2	4	8

 .

Duke ndёrtuar kёto pika: A₁(-3, 1/8), A₂(-2, 1/4), A₃(-1, 1/2),  A₄(0, 1), A₅(1, 2), A₆(2, 4), A₇(3, 8), nё planin kordinativ xOy dhe duke i bashkuar me njё vijё tё lakuar, marrim grafikun e funksionit eksponencial y = 2^x  pёr x ∈ [-3, 3]  (fig. 1)

Rasti  c = 1 dhe  0 < a < 1

Nё tabelёn e mёposhtme janё dhёnё vlerat e funksionit   ,  ( c = 1, a = 1/2) pёr vlera tё ndryshme tё ndryshores x.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	1	1/2	1/4	1/8

 .

Duke ndёrtuar kёto pika: B₁(-3, 8), B₂(-2, 4), B₃(-1, 2),  B₄(0, 1), B₅(1, 1/2), B₆(2, 1/4), B₇(3, 1/8), nё planin koordinativ xOy dhe duke i bashkuar me njё vijё tё lakuar, marrim grafikun e funksionit eksponencial   pёr x ∈ [-3, 3]  (fig. 2). Pёr krahasim, nё po kёtё figurё ёshtё ndёrtuar edhe grafiku i funksionit y = 2^x  pёr x ∈ [-3, 3]

Çfarё vini re nё grafikёt e kёtyre funksioneve? Ju mund tё arrini nё kёto pёrfundime:

1. Grafiku i funksionit  y = a^x , x ∈ R  kur 0 < a < 1 ёshtё njё vijё e lёmuar. Ajo ndodhet mbi boshtin Ox dhe e prêt boshtin Oy nё pikёn (0, 1). Ai ёshtё njё funksion zbritёs

2. Grafikёt e funksioneve  y = a^x dhe  , x ∈ R janё simetrikё tё njeri tjetrit kundrejt boshtit Oy.